彼得堡悖論(St. Petersburg Paradox)

昨天在書中看到了彼得堡悖論(St. Petersburg Paradox)，覺得很有意思，在此與大家分享。

這個悖論講的是一個擲硬幣的賭局。參加的賭客要先繳1000萬的錢，無論輸贏這1000萬都不會退回給賭客。

遊戲規則是這樣的。先擲一次公平硬幣。若出現反面則賭局結束，賭客一毛錢都拿不到。若出現正面，則賭客的彩金2萬元，並還有再擲一次硬幣的機會。第二次丟擲時若出現反面則賭局結束，賭客只拿到目前所累積的，也就是第一次擲時所贏到的彩金2萬元。若第二次出現正面，則賭客目前的彩金加倍成為4萬元，並還有擲第三次硬幣的機會。如果第三次擲出正面，則彩金又可以加倍，並有擲第四次的機會。以此類推，若賭客可以擲出連續n次的正面，則彩金為2^n萬元，並獲得擲第n+1次硬幣的機會。但任何時候擲出反面則賭局就結束，賭徒可以拿走目前所累積的彩金。

如果是你，要不要參加這樣的賭局?

大部份的人都不願意，認為風險太高。

理性的人可以分析一下這種賭局的期望獲益。第一次就擲出正面的機率是1/2，可以得到2萬元；連續兩次擲出正面的機率是1/4，可以得到4萬元。以此類推，連續n次擲出正面的機率是1/2^n，可以得到2^n萬元。因此這個賭局的彩金期望值為
2 * 1/2 + 4 * 1/4 + 8 * 1/8 + ... = 1 + 1 + 1 +... = infinity
結論是獲益是無窮大，就算入場費要1000萬也值得一賭。

這樣的分析結果與我們的直覺不符。這又再一次證明了人的直覺是靠不住的。

天干地支

昨天和女兒談到天干地支。

中國古代用天干地支計年。所謂天干就是"甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸"共十個，地支是"子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戍、亥"共十二個。用天干與地支各取一字計年，六十年為一循環，稱為一甲子。

這是我們中學時就已經知道的事，解釋給女兒聽也不費力。但是等一下，學過排列組合的我邊解釋邊覺得有點不對勁，十個元素與十二個元素的組合數目明明應該是120個啊，為何六十年就會循環？

再細想，原來天干地支的計年法並沒有用到所有可能的組合數目。計年規則是以 "甲子、乙丑、丙寅、丁卯..."這樣的順序去排的，所以一週期等於lcm(12,10)=60。這也等於是說，不可能有 "甲卯"、"乙辰" 這種年份出現。

我覺得這可以設計成 "大家來找碴" 的題目。現代人對天干地支都很陌生，看到 "甲卯年" 會覺得與看到 "甲子年"一樣陌生。

另外，我那唸文科排列組合忘光光的另一半，就不覺得十個元素與十二個元素的組合以六十年為一循環週期有何不對勁，因為教科書上明明就寫得很清楚。我想這種不對勁感是學了排列組合後的反射性直覺。這種直覺很多時候是錯的。有個著名的案例，就打敗了許多數學教授，包括著名的Paul Erdös。

這個案例的場景是設定在電視節目的現場，有三個關閉的門可以讓來賓選擇，其中一個門後有大獎，如果來賓選中了這個門，就可以把這個大獎帶回家，另外兩個門後則什麼也沒有。

節目主持人讓來賓先選擇要開哪個門。來賓選完後，為了製造節目的可看性，主持人並不立即開門揭曉答案，而是就剩下兩個來賓未選的門中，打開其中一個沒有物品的門，此時剩下兩個選擇。然後問來賓是否要改變原來的選擇，選擇另外一個未開的門。

此問題假設節目主持人知道哪個門後有大獎。因此，無論來賓原來選擇的門後是否有大獎，他都總是可以開啟一扇沒有物品的門。

這個打敗許多數學家的問題是，來賓維持原來的選擇較有利？還是改變原來的選擇較好？

很多學過機率的專家(包括Paul Erdös)都認為選中大獎的機率是1/3，這個值並不會因為主持人的開門動作而改變。

但這些專家都錯了。來賓改變他原來的選擇會較有利。至於為什麼，我想留給個人思考吧。這個案例很有名，我想網路上也不難找到解答吧。