四年一度的世界盃足球賽又來臨了。以下是我在2002年世足賽期間思考過的問題，趁此世足賽熱潮拿來回味一下：
世足賽以四個隊伍分為一組進行預賽，每支球隊都要和同組的其他隊伍比過一場。比賽勝的隊伍可得積分三分，平手的隊伍得一分，負的隊伍沒有任何積分。預賽取各分組內積分最高的兩支隊伍晉級，如有兩隊積分相同，再比進失球數。請問
(a) 一個分組共有幾場賽事?
(b) 一場比賽都沒勝過的隊伍是否可能晉級? 如是，發生在何種狀況下?
(c) 戰績兩勝一負的隊伍是否可能遭淘汰? 原因?
(d) 戰績兩勝一和的隊伍是否可能遭淘汰? 原因?
(e) 戰績一勝兩和的隊伍是否可能遭淘汰? 原因?
(f) 一勝一和一負是否可能遭淘汰? 原因?
(g) 一勝兩負是否可能晉級?
(a)最簡單，且答案是回答後面問題的基礎。使用紙筆輔助，問題不難答出。純用心算解就有難度了。
2010年6月7日 星期一
Internet Radio
很早以前就聽說過網路廣播(Internet Radio)這件事，可是並沒有引起我很大的興趣。一則早就沒有了聽收音機的習慣，二則覺得要聽廣播就用真正的收音機聽就好了，幹嘛佔據網路頻寬去聽網路下載的廣播?
但是一年多前發生了一件改變我觀念的事，那就是我找到專播80年代(西元)西洋歌曲的網路電台。1980年代大概是我國中到大學的年輕歲月。在那段苦澀而又被升學壓力壓到喘不過氣來以及隨後而來的愛情啟蒙的日子，西洋音樂一直是我精神上的振奮劑（我相信對同時代的五年級同學們也是）。那時候三更半夜熬夜準備大考或寫作業時，收音機幾乎是固定在 ICRT 聽當時的西洋流行樂。
那時代的音樂和現代流行音樂的 fu 很不同，聽到80年代的音樂，馬上就把我的回憶拉回了那段年少輕狂的歲月，會讓整個人 refresh。所以，我也開始聽起了網路廣播。
重點來了。用筆電內建破破的喇叭聽網路廣播，根本不能算是聽音樂。於是我物色了一台外表看起來有點娘的外接喇叭。
左喇叭是一朵花
右喇叭是花一朵。按花瓣可以調整音量。
大得像半罩式安全帽的重低音外觀實在不討喜。
左右喇叭是高音喇叭，加上半圓形的重低音，沒有中音喇叭，中音的部份是由高低音喇叭延伸涵蓋的。這樣子的效果如何呢？如果是近場聆聽（坐在喇叭前方），可以聽得到高音的細節，也能感受到重低音的力度，你不會感受到缺少中音喇叭有何不妥，稍微弱化的中音反而突顯了高音部份的細緻與低音的效果。這有點像將以前的手提音響上的等化器調成微笑曲線（加強高音與低音部份而弱化中音），但效果好太多。當年普普的樂曲如今聽來能夠撼動人心。
不過若是隔得較遠聆聽的話，就會覺得音樂"虛虛的"，這是缺少中音部份的結果。
後來覺得偶爾聽一下網路廣播還要開電腦，有點小麻煩（其實是給拜入找個藉口），於是又買了網路廣播收音機。這台機器有獨立的有線與無線網路介面，也內建了數百個（上千?）網路廣播電台的網址，使用起來就像一部傳統的收音機（但貴得多）。
這台機器的內建喇叭音質實在不怎麼樣，聽我的80年代情歌完全沒有感動。還好它可以外接擴大機。 這樣做後音質大為改善，但要偶爾要聽網路廣播變成要開ADSL modem、無線IP分享器、網路廣播收音機、和擴大機，是不是變得有點太誇張? 所以後來很少專門開來聽網路廣播，還是用筆電加花喇叭最實際。
但是一年多前發生了一件改變我觀念的事，那就是我找到專播80年代(西元)西洋歌曲的網路電台。1980年代大概是我國中到大學的年輕歲月。在那段苦澀而又被升學壓力壓到喘不過氣來以及隨後而來的愛情啟蒙的日子，西洋音樂一直是我精神上的振奮劑（我相信對同時代的五年級同學們也是）。那時候三更半夜熬夜準備大考或寫作業時，收音機幾乎是固定在 ICRT 聽當時的西洋流行樂。
那時代的音樂和現代流行音樂的 fu 很不同，聽到80年代的音樂，馬上就把我的回憶拉回了那段年少輕狂的歲月，會讓整個人 refresh。所以，我也開始聽起了網路廣播。
重點來了。用筆電內建破破的喇叭聽網路廣播，根本不能算是聽音樂。於是我物色了一台外表看起來有點娘的外接喇叭。
左喇叭是一朵花
右喇叭是花一朵。按花瓣可以調整音量。
大得像半罩式安全帽的重低音外觀實在不討喜。
左右喇叭是高音喇叭，加上半圓形的重低音，沒有中音喇叭，中音的部份是由高低音喇叭延伸涵蓋的。這樣子的效果如何呢？如果是近場聆聽（坐在喇叭前方），可以聽得到高音的細節，也能感受到重低音的力度，你不會感受到缺少中音喇叭有何不妥，稍微弱化的中音反而突顯了高音部份的細緻與低音的效果。這有點像將以前的手提音響上的等化器調成微笑曲線（加強高音與低音部份而弱化中音），但效果好太多。當年普普的樂曲如今聽來能夠撼動人心。
不過若是隔得較遠聆聽的話，就會覺得音樂"虛虛的"，這是缺少中音部份的結果。
後來覺得偶爾聽一下網路廣播還要開電腦，有點小麻煩（其實是給拜入找個藉口），於是又買了網路廣播收音機。這台機器有獨立的有線與無線網路介面，也內建了數百個（上千?）網路廣播電台的網址，使用起來就像一部傳統的收音機（但貴得多）。
這台機器的內建喇叭音質實在不怎麼樣，聽我的80年代情歌完全沒有感動。還好它可以外接擴大機。 這樣做後音質大為改善，但要偶爾要聽網路廣播變成要開ADSL modem、無線IP分享器、網路廣播收音機、和擴大機，是不是變得有點太誇張? 所以後來很少專門開來聽網路廣播，還是用筆電加花喇叭最實際。
2010年5月26日 星期三
彼得堡悖論(St. Petersburg Paradox)
昨天在書中看到了彼得堡悖論(St. Petersburg Paradox)，覺得很有意思，在此與大家分享。
這個悖論講的是一個擲硬幣的賭局。參加的賭客要先繳1000萬的錢，無論輸贏這1000萬都不會退回給賭客。
遊戲規則是這樣的。先擲一次公平硬幣。若出現反面則賭局結束，賭客一毛錢都拿不到。若出現正面，則賭客的彩金2萬元，並還有再擲一次硬幣的機會。第二次丟擲時若出現反面則賭局結束，賭客只拿到目前所累積的，也就是第一次擲時所贏到的彩金2萬元。若第二次出現正面，則賭客目前的彩金加倍成為4萬元，並還有擲第三次硬幣的機會。如果第三次擲出正面，則彩金又可以加倍，並有擲第四次的機會。以此類推，若賭客可以擲出連續n次的正面，則彩金為2^n萬元，並獲得擲第n+1次硬幣的機會。但任何時候擲出反面則賭局就結束，賭徒可以拿走目前所累積的彩金。
如果是你，要不要參加這樣的賭局?
大部份的人都不願意，認為風險太高。
理性的人可以分析一下這種賭局的期望獲益。第一次就擲出正面的機率是1/2，可以得到2萬元；連續兩次擲出正面的機率是1/4，可以得到4萬元。以此類推，連續n次擲出正面的機率是1/2^n，可以得到2^n萬元。因此這個賭局的彩金期望值為
2 * 1/2 + 4 * 1/4 + 8 * 1/8 + ... = 1 + 1 + 1 +... = infinity
結論是獲益是無窮大，就算入場費要1000萬也值得一賭。
這樣的分析結果與我們的直覺不符。這又再一次證明了人的直覺是靠不住的。
這個悖論講的是一個擲硬幣的賭局。參加的賭客要先繳1000萬的錢，無論輸贏這1000萬都不會退回給賭客。
遊戲規則是這樣的。先擲一次公平硬幣。若出現反面則賭局結束，賭客一毛錢都拿不到。若出現正面，則賭客的彩金2萬元，並還有再擲一次硬幣的機會。第二次丟擲時若出現反面則賭局結束，賭客只拿到目前所累積的，也就是第一次擲時所贏到的彩金2萬元。若第二次出現正面，則賭客目前的彩金加倍成為4萬元，並還有擲第三次硬幣的機會。如果第三次擲出正面，則彩金又可以加倍，並有擲第四次的機會。以此類推，若賭客可以擲出連續n次的正面，則彩金為2^n萬元，並獲得擲第n+1次硬幣的機會。但任何時候擲出反面則賭局就結束，賭徒可以拿走目前所累積的彩金。
如果是你，要不要參加這樣的賭局?
大部份的人都不願意，認為風險太高。
理性的人可以分析一下這種賭局的期望獲益。第一次就擲出正面的機率是1/2，可以得到2萬元；連續兩次擲出正面的機率是1/4，可以得到4萬元。以此類推，連續n次擲出正面的機率是1/2^n，可以得到2^n萬元。因此這個賭局的彩金期望值為
2 * 1/2 + 4 * 1/4 + 8 * 1/8 + ... = 1 + 1 + 1 +... = infinity
結論是獲益是無窮大，就算入場費要1000萬也值得一賭。
這樣的分析結果與我們的直覺不符。這又再一次證明了人的直覺是靠不住的。
2010年5月8日 星期六
天干地支
昨天和女兒談到天干地支。
中國古代用天干地支計年。所謂天干就是"甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸"共十個，地支是"子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戍、亥"共十二個。用天干與地支各取一字計年，六十年為一循環，稱為一甲子。
這是我們中學時就已經知道的事，解釋給女兒聽也不費力。但是等一下，學過排列組合的我邊解釋邊覺得有點不對勁，十個元素與十二個元素的組合數目明明應該是120個啊，為何六十年就會循環？
再細想，原來天干地支的計年法並沒有用到所有可能的組合數目。計年規則是以 "甲子、乙丑、丙寅、丁卯..."這樣的順序去排的，所以一週期等於lcm(12,10)=60。這也等於是說，不可能有 "甲卯"、"乙辰" 這種年份出現。
我覺得這可以設計成 "大家來找碴" 的題目。現代人對天干地支都很陌生，看到 "甲卯年" 會覺得與看到 "甲子年"一樣陌生。
另外，我那唸文科排列組合忘光光的另一半，就不覺得十個元素與十二個元素的組合以六十年為一循環週期有何不對勁，因為教科書上明明就寫得很清楚。我想這種不對勁感是學了排列組合後的反射性直覺。這種直覺很多時候是錯的。有個著名的案例，就打敗了許多數學教授，包括著名的Paul Erdös。
這個案例的場景是設定在電視節目的現場，有三個關閉的門可以讓來賓選擇，其中一個門後有大獎，如果來賓選中了這個門，就可以把這個大獎帶回家，另外兩個門後則什麼也沒有。
節目主持人讓來賓先選擇要開哪個門。來賓選完後，為了製造節目的可看性，主持人並不立即開門揭曉答案，而是就剩下兩個來賓未選的門中，打開其中一個沒有物品的門，此時剩下兩個選擇。然後問來賓是否要改變原來的選擇，選擇另外一個未開的門。
此問題假設節目主持人知道哪個門後有大獎。因此，無論來賓原來選擇的門後是否有大獎，他都總是可以開啟一扇沒有物品的門。
這個打敗許多數學家的問題是，來賓維持原來的選擇較有利？還是改變原來的選擇較好？
很多學過機率的專家(包括Paul Erdös)都認為選中大獎的機率是1/3，這個值並不會因為主持人的開門動作而改變。
但這些專家都錯了。來賓改變他原來的選擇會較有利。至於為什麼，我想留給個人思考吧。這個案例很有名，我想網路上也不難找到解答吧。
中國古代用天干地支計年。所謂天干就是"甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸"共十個，地支是"子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戍、亥"共十二個。用天干與地支各取一字計年，六十年為一循環，稱為一甲子。
這是我們中學時就已經知道的事，解釋給女兒聽也不費力。但是等一下，學過排列組合的我邊解釋邊覺得有點不對勁，十個元素與十二個元素的組合數目明明應該是120個啊，為何六十年就會循環？
再細想，原來天干地支的計年法並沒有用到所有可能的組合數目。計年規則是以 "甲子、乙丑、丙寅、丁卯..."這樣的順序去排的，所以一週期等於lcm(12,10)=60。這也等於是說，不可能有 "甲卯"、"乙辰" 這種年份出現。
我覺得這可以設計成 "大家來找碴" 的題目。現代人對天干地支都很陌生，看到 "甲卯年" 會覺得與看到 "甲子年"一樣陌生。
另外，我那唸文科排列組合忘光光的另一半，就不覺得十個元素與十二個元素的組合以六十年為一循環週期有何不對勁，因為教科書上明明就寫得很清楚。我想這種不對勁感是學了排列組合後的反射性直覺。這種直覺很多時候是錯的。有個著名的案例，就打敗了許多數學教授，包括著名的Paul Erdös。
這個案例的場景是設定在電視節目的現場，有三個關閉的門可以讓來賓選擇，其中一個門後有大獎，如果來賓選中了這個門，就可以把這個大獎帶回家，另外兩個門後則什麼也沒有。
節目主持人讓來賓先選擇要開哪個門。來賓選完後，為了製造節目的可看性，主持人並不立即開門揭曉答案，而是就剩下兩個來賓未選的門中，打開其中一個沒有物品的門，此時剩下兩個選擇。然後問來賓是否要改變原來的選擇，選擇另外一個未開的門。
此問題假設節目主持人知道哪個門後有大獎。因此，無論來賓原來選擇的門後是否有大獎，他都總是可以開啟一扇沒有物品的門。
這個打敗許多數學家的問題是，來賓維持原來的選擇較有利？還是改變原來的選擇較好？
很多學過機率的專家(包括Paul Erdös)都認為選中大獎的機率是1/3，這個值並不會因為主持人的開門動作而改變。
但這些專家都錯了。來賓改變他原來的選擇會較有利。至於為什麼，我想留給個人思考吧。這個案例很有名，我想網路上也不難找到解答吧。
2010年3月15日 星期一
高鐵雲宵飛車
3/4高雄甲仙6.4級的地震，讓當天的高鐵列車全部停擺。我也是此次事件的受害者之一，當天原本要搭高鐵北上，最後只能改坐台鐵。話說去年12月高鐵也曾因地震暫停行駛，當時也被我遇到了，也是改搭台鐵北上。這連續兩次的事件讓我對高鐵與地震的關係印象深刻。
當天地震來臨時，正在行駛中的高鐵列車全部自動啟動了緊急煞車機制。據報載當天列車上的乘客都為這巨大的衝擊力所嚇壞，甚至有人形容為好像在坐高鐵雲宵飛車。我的一個以前的學生Nova當時也在其中某列車廂中，那時也用手機傳了MSN訊息給我，讓我印象深刻。
地震後數天，高鐵局公佈了當時列車的黑盒子記錄。 以下資料轉載自報紙：
如果將高鐵列車的煞車視為等減速運動，經由簡單的運算，可得知此運動的加速度約為-0.1G左右，並不算大。這樣看來，當天列車上乘客的驚恐反應，應該是地震的因素大些，高鐵緊急煞車的驚嚇指數被高估了，並未到達雲宵飛車的等級。
一般雲宵飛車的G力又有多少呢？根據網路上查得到的資料，月眉的斷軌雲宵飛車瞬間加速度可高達4G。這應該也是我搭過最刺激的遊樂設備了。
當天地震來臨時，正在行駛中的高鐵列車全部自動啟動了緊急煞車機制。據報載當天列車上的乘客都為這巨大的衝擊力所嚇壞，甚至有人形容為好像在坐高鐵雲宵飛車。我的一個以前的學生Nova當時也在其中某列車廂中，那時也用手機傳了MSN訊息給我，讓我印象深刻。
地震後數天，高鐵局公佈了當時列車的黑盒子記錄。 以下資料轉載自報紙：
| 列次 | 列車時速(km/h) | 煞停距離(m) | 煞停時間(s) |
| 403 | 92 | 300 | 19 |
| 410 | 160 | 800 | 35 |
| 110 | 298 | 3300 | 76 |
| 408 | 289 | 3400 | 79 |
| 105 | 294 | 3500 | 80 |
| 405 | 296 | 3600 | 82 |
一般雲宵飛車的G力又有多少呢？根據網路上查得到的資料，月眉的斷軌雲宵飛車瞬間加速度可高達4G。這應該也是我搭過最刺激的遊樂設備了。
2010年3月5日 星期五
閏年
PS3晶片中計算閏年的法則有誤，會誤認2010年是閏年，以為過了2月28號應該要為2月29號。這個看來不起眼的錯誤竟引起了上週全球規模的PS3大當機事件。
我沒有PS3，也不是要談這次當機的事件，只是這件事讓我想起，多年前的某一年我突然領悟到計算閏年的法則可以讓我精確回答一年究竟等於多少天這個問題，而且精確度可以到小數點後第三位。
計算閏年的法則有三條。第一、西元年逢四的倍數為閏年。第二、前述規則的例外是西元年逢100的倍數不為閏年。第三、前述規則的例外是西元年逢400的倍數為閏年。
規則一告訴我們一年應有365又1/4天，每逢四年才必須有2月29日來解決這每四年會多出的一天。規則二又告訴我們一年的天數應比365又1/4天略少，這少掉的部份每100年就可累積成一天的量，所以一年的天數應為365+1/4-1/100。同理，規則三告訴我們更精確的答案應是365+1/4-1/100+1/400。用計算機算一下，這個值為365.2425，或者說是365天又5小時49分12秒。
Google一下網路上的資料可以查到，製曆用的「回歸年」(原來年的定義也有三種)定義一年約等於365日5小時48分46秒，和上述推算僅有26秒的誤差，約等於0.00028日。
這也等於說， 這三條計算閏年的法則也有誤差。這點誤差累積到約3571年後會多出一天，那時候也許會多出一條規則來少一次閏年。
我沒有PS3，也不是要談這次當機的事件，只是這件事讓我想起，多年前的某一年我突然領悟到計算閏年的法則可以讓我精確回答一年究竟等於多少天這個問題，而且精確度可以到小數點後第三位。
計算閏年的法則有三條。第一、西元年逢四的倍數為閏年。第二、前述規則的例外是西元年逢100的倍數不為閏年。第三、前述規則的例外是西元年逢400的倍數為閏年。
規則一告訴我們一年應有365又1/4天，每逢四年才必須有2月29日來解決這每四年會多出的一天。規則二又告訴我們一年的天數應比365又1/4天略少，這少掉的部份每100年就可累積成一天的量，所以一年的天數應為365+1/4-1/100。同理，規則三告訴我們更精確的答案應是365+1/4-1/100+1/400。用計算機算一下，這個值為365.2425，或者說是365天又5小時49分12秒。
Google一下網路上的資料可以查到，製曆用的「回歸年」(原來年的定義也有三種)定義一年約等於365日5小時48分46秒，和上述推算僅有26秒的誤差，約等於0.00028日。
這也等於說， 這三條計算閏年的法則也有誤差。這點誤差累積到約3571年後會多出一天，那時候也許會多出一條規則來少一次閏年。
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