彼得堡悖論(St. Petersburg Paradox)

昨天在書中看到了彼得堡悖論(St. Petersburg Paradox)，覺得很有意思，在此與大家分享。

這個悖論講的是一個擲硬幣的賭局。參加的賭客要先繳1000萬的錢，無論輸贏這1000萬都不會退回給賭客。

遊戲規則是這樣的。先擲一次公平硬幣。若出現反面則賭局結束，賭客一毛錢都拿不到。若出現正面，則賭客的彩金2萬元，並還有再擲一次硬幣的機會。第二次丟擲時若出現反面則賭局結束，賭客只拿到目前所累積的，也就是第一次擲時所贏到的彩金2萬元。若第二次出現正面，則賭客目前的彩金加倍成為4萬元，並還有擲第三次硬幣的機會。如果第三次擲出正面，則彩金又可以加倍，並有擲第四次的機會。以此類推，若賭客可以擲出連續n次的正面，則彩金為2^n萬元，並獲得擲第n+1次硬幣的機會。但任何時候擲出反面則賭局就結束，賭徒可以拿走目前所累積的彩金。

如果是你，要不要參加這樣的賭局?

大部份的人都不願意，認為風險太高。

理性的人可以分析一下這種賭局的期望獲益。第一次就擲出正面的機率是1/2，可以得到2萬元；連續兩次擲出正面的機率是1/4，可以得到4萬元。以此類推，連續n次擲出正面的機率是1/2^n，可以得到2^n萬元。因此這個賭局的彩金期望值為
2 * 1/2 + 4 * 1/4 + 8 * 1/8 + ... = 1 + 1 + 1 +... = infinity
結論是獲益是無窮大，就算入場費要1000萬也值得一賭。

這樣的分析結果與我們的直覺不符。這又再一次證明了人的直覺是靠不住的。

天干地支

昨天和女兒談到天干地支。

中國古代用天干地支計年。所謂天干就是"甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸"共十個，地支是"子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戍、亥"共十二個。用天干與地支各取一字計年，六十年為一循環，稱為一甲子。

這是我們中學時就已經知道的事，解釋給女兒聽也不費力。但是等一下，學過排列組合的我邊解釋邊覺得有點不對勁，十個元素與十二個元素的組合數目明明應該是120個啊，為何六十年就會循環？

再細想，原來天干地支的計年法並沒有用到所有可能的組合數目。計年規則是以 "甲子、乙丑、丙寅、丁卯..."這樣的順序去排的，所以一週期等於lcm(12,10)=60。這也等於是說，不可能有 "甲卯"、"乙辰" 這種年份出現。

我覺得這可以設計成 "大家來找碴" 的題目。現代人對天干地支都很陌生，看到 "甲卯年" 會覺得與看到 "甲子年"一樣陌生。

另外，我那唸文科排列組合忘光光的另一半，就不覺得十個元素與十二個元素的組合以六十年為一循環週期有何不對勁，因為教科書上明明就寫得很清楚。我想這種不對勁感是學了排列組合後的反射性直覺。這種直覺很多時候是錯的。有個著名的案例，就打敗了許多數學教授，包括著名的Paul Erdös。

這個案例的場景是設定在電視節目的現場，有三個關閉的門可以讓來賓選擇，其中一個門後有大獎，如果來賓選中了這個門，就可以把這個大獎帶回家，另外兩個門後則什麼也沒有。

節目主持人讓來賓先選擇要開哪個門。來賓選完後，為了製造節目的可看性，主持人並不立即開門揭曉答案，而是就剩下兩個來賓未選的門中，打開其中一個沒有物品的門，此時剩下兩個選擇。然後問來賓是否要改變原來的選擇，選擇另外一個未開的門。

此問題假設節目主持人知道哪個門後有大獎。因此，無論來賓原來選擇的門後是否有大獎，他都總是可以開啟一扇沒有物品的門。

這個打敗許多數學家的問題是，來賓維持原來的選擇較有利？還是改變原來的選擇較好？

很多學過機率的專家(包括Paul Erdös)都認為選中大獎的機率是1/3，這個值並不會因為主持人的開門動作而改變。

但這些專家都錯了。來賓改變他原來的選擇會較有利。至於為什麼，我想留給個人思考吧。這個案例很有名，我想網路上也不難找到解答吧。

高鐵雲宵飛車

3/4高雄甲仙6.4級的地震，讓當天的高鐵列車全部停擺。我也是此次事件的受害者之一，當天原本要搭高鐵北上，最後只能改坐台鐵。話說去年12月高鐵也曾因地震暫停行駛，當時也被我遇到了，也是改搭台鐵北上。這連續兩次的事件讓我對高鐵與地震的關係印象深刻。

當天地震來臨時，正在行駛中的高鐵列車全部自動啟動了緊急煞車機制。據報載當天列車上的乘客都為這巨大的衝擊力所嚇壞，甚至有人形容為好像在坐高鐵雲宵飛車。我的一個以前的學生Nova當時也在其中某列車廂中，那時也用手機傳了MSN訊息給我，讓我印象深刻。

地震後數天，高鐵局公佈了當時列車的黑盒子記錄。 以下資料轉載自報紙：

列次	列車時速(km/h)	煞停距離(m)	煞停時間(s)
403	92	300	19
410	160	800	35
110	298	3300	76
408	289	3400	79
105	294	3500	80
405	296	3600	82

如果將高鐵列車的煞車視為等減速運動，經由簡單的運算，可得知此運動的加速度約為-0.1G左右，並不算大。這樣看來，當天列車上乘客的驚恐反應，應該是地震的因素大些，高鐵緊急煞車的驚嚇指數被高估了，並未到達雲宵飛車的等級。

一般雲宵飛車的G力又有多少呢？根據網路上查得到的資料，月眉的斷軌雲宵飛車瞬間加速度可高達4G。這應該也是我搭過最刺激的遊樂設備了。

閏年

PS3晶片中計算閏年的法則有誤，會誤認2010年是閏年，以為過了2月28號應該要為2月29號。這個看來不起眼的錯誤竟引起了上週全球規模的PS3大當機事件。

我沒有PS3，也不是要談這次當機的事件，只是這件事讓我想起，多年前的某一年我突然領悟到計算閏年的法則可以讓我精確回答一年究竟等於多少天這個問題，而且精確度可以到小數點後第三位。

計算閏年的法則有三條。第一、西元年逢四的倍數為閏年。第二、前述規則的例外是西元年逢100的倍數不為閏年。第三、前述規則的例外是西元年逢400的倍數為閏年。

規則一告訴我們一年應有365又1/4天，每逢四年才必須有2月29日來解決這每四年會多出的一天。規則二又告訴我們一年的天數應比365又1/4天略少，這少掉的部份每100年就可累積成一天的量，所以一年的天數應為365+1/4-1/100。同理，規則三告訴我們更精確的答案應是365+1/4-1/100+1/400。用計算機算一下，這個值為365.2425，或者說是365天又5小時49分12秒。

Google一下網路上的資料可以查到，製曆用的「回歸年」(原來年的定義也有三種)定義一年約等於365日5小時48分46秒，和上述推算僅有26秒的誤差，約等於0.00028日。

這也等於說， 這三條計算閏年的法則也有誤差。這點誤差累積到約3571年後會多出一天，那時候也許會多出一條規則來少一次閏年。

七爺八爺

上星期和家人到奧萬大健行。女兒走得不耐煩，開始不好好走路。

媽媽提醒她：「這樣走路像七爺八爺，很難看耶。」


女兒進一步追問是像七爺還是八爺。這可問倒我們了。印象中兩人走路都一個樣吧。

我又聯想到一個問題，為什麼七爺八爺要那樣走路？畢竟並沒有人見過生前的范謝將軍。

我自己的解釋是，七爺八爺有手的。出巡時若不大搖大擺地走路，垂下來的手無法自然擺動，那樣會顯得生硬。

結論是七爺八爺大搖大擺走路，應該只是技術上的考量。

高利貸

女兒問我什麼是「高利貸」。

我說：如果你向別人借錢，還錢的時候，要付出非常高的利息，那就是高利貸。

女兒又問我那什麼是「利息」。

我說：利息是你還錢的時候，還出來的錢要比你當初借錢的時候借的錢還要多，這多出來的部份就是利息。比如你向同學借100元，還給他120元，這20元就是利息。

女兒 很不以為然：「我明明借100元，為何要還120元？這不公平」

我想到在她的世界中，借多少還多少才是公平的。還的比借的還要多是貪心而不公平的。

可是，世界上所有正派經營的銀行，都要靠利息生存。難道只能用貪心解釋利息的存在?

我想了一下，告訴女兒：如果妳同學有100元，他可以拿去買飲料，買炸雞，或拿去遊樂園花掉。不管怎麼花，這100元可以讓你同學獲得立即的快樂。

今天如果他把這100元借給妳，妳三個月後才還他。那麼雖然他名義上還是這100元的主人，但是在這三個期間，這100元沒有辦法讓他達成任何他可以用這100元達成的願望，他必須等到三個月後，妳還他錢後，才能吃到飲料，買到炸雞，或拿去遊樂園花掉。

利息就是補償你同學要等待三個月才能花他的錢的損失。

等待的痛苦女兒是瞭解的 。所以她對利息的存在也就釋懷了。

我所不明瞭的是，利息在真實世界真的只是一種時間成本嗎？

三人成虎

今天和家人去逛街。走在路上時，我問唸小學的女兒知不知道什麼是「三人成虎」。她說不知道。

於是我發揮教育家的精神，把這句成語的典故一五一十的說給她聽。

女兒說話啦：「我還以為是三個人組成小虎隊」