2010年5月8日 星期六

天干地支

昨天和女兒談到天干地支。

中國古代用天干地支計年。所謂天干就是"甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸"共十個,地支是"子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戍、亥"共十二個。用天干與地支各取一字計年,六十年為一循環,稱為一甲子。

這是我們中學時就已經知道的事,解釋給女兒聽也不費力。但是等一下,學過排列組合的我邊解釋邊覺得有點不對勁,十個元素與十二個元素的組合數目明明應該是120個啊,為何六十年就會循環?

再細想,原來天干地支的計年法並沒有用到所有可能的組合數目。計年規則是以 "甲子、乙丑、丙寅、丁卯..."這樣的順序去排的,所以一週期等於lcm(12,10)=60。這也等於是說,不可能有 "甲卯"、"乙辰" 這種年份出現。

我覺得這可以設計成 "大家來找碴" 的題目。現代人對天干地支都很陌生,看到 "甲卯年" 會覺得與看到 "甲子年"一樣陌生。

另外,我那唸文科排列組合忘光光的另一半,就不覺得十個元素與十二個元素的組合以六十年為一循環週期有何不對勁,因為教科書上明明就寫得很清楚。我想這種不對勁感是學了排列組合後的反射性直覺。這種直覺很多時候是錯的。有個著名的案例,就打敗了許多數學教授,包括著名的Paul Erdös。

這個案例的場景是設定在電視節目的現場,有三個關閉的門可以讓來賓選擇,其中一個門後有大獎,如果來賓選中了這個門,就可以把這個大獎帶回家,另外兩個門後則什麼也沒有。

節目主持人讓來賓先選擇要開哪個門。來賓選完後,為了製造節目的可看性,主持人並不立即開門揭曉答案,而是就剩下兩個來賓未選的門中,打開其中一個沒有物品的門,此時剩下兩個選擇。然後問來賓是否要改變原來的選擇,選擇另外一個未開的門。

此問題假設節目主持人知道哪個門後有大獎。因此,無論來賓原來選擇的門後是否有大獎,他都總是可以開啟一扇沒有物品的門。

這個打敗許多數學家的問題是,來賓維持原來的選擇較有利?還是改變原來的選擇較好?

很多學過機率的專家(包括Paul Erdös)都認為選中大獎的機率是1/3,這個值並不會因為主持人的開門動作而改變。

但這些專家都錯了。來賓改變他原來的選擇會較有利。至於為什麼,我想留給個人思考吧。這個案例很有名,我想網路上也不難找到解答吧。

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