2010年5月26日 星期三

彼得堡悖論(St. Petersburg Paradox)

昨天在書中看到了彼得堡悖論(St. Petersburg Paradox),覺得很有意思,在此與大家分享。

這個悖論講的是一個擲硬幣的賭局。參加的賭客要先繳1000萬的錢,無論輸贏這1000萬都不會退回給賭客。

遊戲規則是這樣的。先擲一次公平硬幣。若出現反面則賭局結束,賭客一毛錢都拿不到。若出現正面,則賭客的彩金2萬元,並還有再擲一次硬幣的機會。第二次丟擲時若出現反面則賭局結束,賭客只拿到目前所累積的,也就是第一次擲時所贏到的彩金2萬元。若第二次出現正面,則賭客目前的彩金加倍成為4萬元,並還有擲第三次硬幣的機會。如果第三次擲出正面,則彩金又可以加倍,並有擲第四次的機會。以此類推,若賭客可以擲出連續n次的正面,則彩金為2^n萬元,並獲得擲第n+1次硬幣的機會。但任何時候擲出反面則賭局就結束,賭徒可以拿走目前所累積的彩金。

如果是你,要不要參加這樣的賭局?

大部份的人都不願意,認為風險太高。

理性的人可以分析一下這種賭局的期望獲益。第一次就擲出正面的機率是1/2,可以得到2萬元;連續兩次擲出正面的機率是1/4,可以得到4萬元。以此類推,連續n次擲出正面的機率是1/2^n,可以得到2^n萬元。因此這個賭局的彩金期望值為
2 * 1/2 + 4 * 1/4 + 8 * 1/8 + ... = 1 + 1 + 1 +... = infinity
結論是獲益是無窮大,就算入場費要1000萬也值得一賭。

這樣的分析結果與我們的直覺不符。這又再一次證明了人的直覺是靠不住的。

6 則留言:

  1. 但是你獲得1000萬的機率是1/2^1000唷!

    回覆刪除
  2. 妳的結論剛好是Bernoulli攻擊的點也。

    也就是不能用金額來評估決策,需要用效用 (utility) 來評估。

    回覆刪除
  3. 这个是悖论啊,其实真实的期望值大概只有2.42

    回覆刪除
  4. 為何"真實期望值"是 2.42?

    回覆刪除
  5. 不是人的直覺靠不住,而是用理性模型來建構人的行為的方式是不對的。

    回覆刪除
    回覆
    1. 我可以理解。因為人不是純粹理性思考動物。

      刪除