2012年9月11日 星期二

六度分隔

報紙上一篇報導,提到畢業廿多年的師大附中同學應用數學概念中的「六度分隔理論」在臉書上尋人。報導中提到,如果將尋人訊息轉發給十名臉書友人。訊息的臉書朋友再轉發給十名朋友,就會有一百人看到尋人啟事。以此類推,轉發到第五層時時,就會有一百萬人看到。

首先,我認為並不能因為「六度分隔」(Six Degree of Separation) 這個說法牽涉到一個數字,就被稱作是「數學理論」。嚴格地說,這個說法連理論都稱不上,只是一個普為接受的想法 (idea),因為它不能被嚴謹地驗證。

實際生活中每個人認識的朋友數目有多有少,而且每個人認識的人多少都有重疊,此重疊的人數並非常數。因此人際關係每往外一層可以增加的新朋友並非可簡單計算出來的。這個並非簡單數學題目。

假設每個人的朋友數目為定値 m。又假設每個人的朋友中,彼此間也是朋友的佔每個人全部朋友數目的比例亦為定値 r。請問以任何一個人為起點,人際關係往外推 n 層可以納進來的人數為多少? 這個才是數學題目。有答案的人可以告訴我。

上面第二個參數也可以用群聚係數 (Clustering Coefficient) 代替,它的定義是這樣的。n 個人之間所有可能存在的二元朋友關係總數為 n(n-1)/2,將這 n 個人之間實際存在的二元朋友關係數目除以 n(n-1)/2,即為群聚係數。假設每個人的朋友數目為定値 m,又假設此社群中的群聚係數為定値 c。請問以任何一個人為起點,人際關係往外推 n 層可以納進來的人數為多少?

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