Second-price定價機制

當使用密封式拍賣標售單一物件時，以出最高標金者得標，但得標者支付的價錢是次高標金，這稱為second-price定價策略。

如果以賣方的利益來思考，會覺得此規則莫名其妙，是平白讓利給投標者。不過second-price定價策略背後的動機，是要讓投標者真實出價，以極大化社會福祉，並非要極大化賣方的利益。

至於此定價策略為何可以讓投標者真實出價，我們可以看這張表的分析。假設投標者為bidder i，他對拍賣物品的真實評價是v_i，而寫下的標金是b_i。b_i與v_i的大小關係可分為b_i>v_i, b_i=v_i, 以及b_i<v_i三種，對應到表中的三個列(row)。假設除b_i外其他投標者最高的標金是max(b_{-i})。v_i與max(b_{-i})的大小關係也可以分為v_i>max(b_{-i}), v_i=max(b_{-i}) 與v_i<max(b_{-i})三種，分別對應到表中的三個欄(column)。表中格子中顯示的是上述兩種關係各種組合下bidder i所能獲得的payoff。這裡的payoff定義成bidder i在此拍賣中所能獲得的效用。如果bidder i未能贏得拍賣，則bidder i的效用值為0，否則bidder i的效用值為bidder i對拍賣物品的真實評價v_i減掉他要付的價錢p_i。注意因為是second-price定價策略，所以p_i=max(b_{-i})<b_i (這裡不考慮平手的情形)。

表中所有payoff為0的格子表示bidder i未贏得拍賣物，不為0的格子中的值就是v_i-p_i的結果。為何有些格子有0又有其他值呢？這表示bidder i可能贏也可能輸掉拍賣。例如右上角那個格子，代表bidder i的標金b_i大於他對物品的真實評價v_i，但v_i小於所有其他人的最高標金max(b_{-i})。此時b_i可能大於也可能小於max(b_{-i})。如果b_i小於max(b_{-i})，那麼當然他的payoff為0。如果b_i大於max(b_{-i})的話，他要付的價格max(b_{-i})減掉v_i是小於0的，所以payoff為負值。

因為是密封式拍賣，投標者是無法事先得知v_i與max(b_{-i})的大小關係的，他能控制的只有選擇哪種投標策略(b_i>v_i, b_i=v_i或b_i<v_i)。經過理性分析，bidder i會發現選擇中間那列(b_i=v_i)在各種可能情況(v_i>max(b_{-i}), v_i=max(b_{-i}) 與v_i<max(b_{-i}))下所獲的的payoff，都不會輸於其他兩種策略(b_i>v_i及b_i<v_i)，只可能會更好。所以，bidder i的最佳策略就是選擇b_i=v_i (真實出價)。

實際上密封式拍賣標售單一物件採用second-price定價策略時，投標者都會真實出價嗎？並不見得。原因是投標者並不見得會認知到真實出價會是他的最佳策略。必須讓所有投標者都能理解上述分析，才能達到機制設計所想要達到的目的。